Kąt rozwarty między...

Gdy kąt między bokami jest rozwarty, jego cosinus jest ujemny, więc wyrażenie $-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\left(C\right)$ zwiększa długość zamiast ją zmniejszać. Trzeci bok wychodzi dłuższy, niż wynikałoby z twierdzenia Pitagorasa.

Boki o długościach 5 i 8, między którymi jest kąt 120°: $\cos\left(120^{\circ}\right) = \frac{-1}{2}$, więc ostatni składnik to $-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{-1}{2}$, co daje +40. Zatem c² = 25 + 64 + 40 = 129, a c = √129, czyli w przybliżeniu 11.36. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymalibyśmy jedynie √89, czyli w przybliżeniu 9.43: za mało dla tak rozwartego kąta.

Częstym błędem jest przyjęcie, że cos 120° wynosi +1/2, co odejmuje 40 i daje √49 = 7, czyli bok krótszy od sąsiadującego z nim boku o długości 8. Kąt rozwarty leży naprzeciw najdłuższego boku, więc taki wynik nie może być poprawny.