Çözmek için Gruplama

Bir kübik ifadenin dört terimi varsa ve bu terimlerin tümünün ortak çarpanı yoksa, gruplandırmayı deneyin. ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$ ifadesini ele alalım. İlk iki terim ${x}^{2}$ ortak çarpanını, son iki terim ise -9 ortak çarpanını içerir; bu nedenle sol taraf ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$ olur. Şimdi x - 3 ortak bir çarpandır: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. ${x}^{2}-9$ parantezi iki karenin farkıdır; dolayısıyla denklemin tamamı $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$ olur.

Durumlara ayırınca sırasıyla 3, sonra -3, sonra yine 3 elde edilir. x - 3 çarpanı iki kez göründüğünden, 3 bir tekrarlı köktür. Cevapta bir kez sayılır: çözümler 3 ve -3'tür. Cevap bir sayı kümesidir ve bir kümede, kaç çarpan ona işaret ederse etsin, her sayı bir kez bulunur. Grafikte, burada 3 gibi çift sayıda tekrarlanan bir kökte eğri x eksenine dokunur ve geri döner. Tek sayıda tekrarlanan bir kök ise ekseni keser: ${\left(x-1\right)}^{3}$, 1 noktasında ekseni keser.