Çözmek için Gruplama

Bir kübik ifadenin dört terimi varsa ve bu terimlerin tümünün ortak çarpanı yoksa, gruplandırmayı deneyin. x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0 ifadesini ele alalım. İlk iki terim x^2 ortak çarpanını, son iki terim ise -9 ortak çarpanını içerir; bu nedenle sol taraf x^2(x - 3) - 9(x - 3) olur. Şimdi x - 3 ortak bir çarpandır: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. x^2 - 9 parantezi iki karenin farkıdır; dolayısıyla denklemin tamamı (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0 olur.

Durumlara ayırınca sırasıyla 3, sonra -3, sonra yine 3 elde edilir. x - 3 çarpanı iki kez göründüğünden, 3 bir tekrarlı köktür. Cevapta bir kez sayılır: çözümler 3 ve -3'tür. Cevap bir sayı kümesidir ve bir kümede, kaç çarpan ona işaret ederse etsin, her sayı bir kez bulunur. Grafikte, burada 3 gibi çift sayıda tekrarlanan bir kökte eğri x eksenine dokunur ve geri döner. Tek sayıda tekrarlanan bir kök ise ekseni keser: (x - 1)^3, 1 noktasında ekseni keser.