1 + tan²x = sec²x

${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ ifadesinin her terimini ${\cos\left(x\right)}^{2}$ ile bölün. O hâlde $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$, ${\tan\left(x\right)}^{2}$; $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$, 1; ve $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$, ${\sec\left(x\right)}^{2}$ olur. Böylece ikinci bir özdeşlik elde edilir.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

Bu, cos x'in 0 olmadığı her yerde doğrudur. Her iki taraftan 1 çıkarın: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. Dolayısıyla $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$, $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$ olur; bu da tan x'tir.