tan(A + B) ve tan(A - B)

sin(A + B)'yi cos(A + B)'ye bölün, ardından payı ve paydayı cos A cos B'ye bölün; tanjant formülleri yalnızca tanjantlar cinsinden elde edilir:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

tan A ve tan B'nin tanımlı olması gerekir (hiçbir açı 90° artı yarım turun tam sayı katı olmamalıdır) ve payda 0 olmamalıdır. Payda üstünde işaret açıyı izler; altında ise bunun tersidir. tan 45° = 1 ve $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ olduğuna göre, 45° + 30° olarak 75° için:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

Paydadaki kökü gidermek için pay ve paydayı eşleniğiyle, burada 3 + √3 ile çarparız: payda 9 - 3 = 6 olur, pay ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$ olur ve $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.