各项求和

求 10 个数 2、5、8、……、29 的和。把第一个数和最后一个数配成一对：2 加 29 等于 31。把第二个数和倒数第二个数配成一对：5 加 26 也等于 31。每一对的和都是 31，因为一个数恰好增加 3 时，另一个数就减少 3。10 个数可以配成 5 对，所以总和是 $5\cdot 31$，也就是 155。

对于任意含有 n 项的等差数列，这意味着有 $\frac{n}{2}$ 对，每对的和都是首项加末项。如果 n 是奇数，中间项相当于半对，配对数量仍然成立：

$$S = \frac{n}{2}\cdot \left(a\left(1\right)+a\left(n\right)\right)$$

据说，年轻的卡尔·弗里德里希·高斯当年用这种方法，转眼间就算出了 1 到 100 的和。