对数幂法则

来看 $\log_{2}\left(8^{2}\right)$。由于 $8 = {2}^{3}$，所以幂是 ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$，也就是 ${2}^{6}$：幂的幂要将指数相乘。因此，对数是 6，也就是 2 乘以 3，即指数乘以 8 的对数。这就是幂法则：

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

对于正数 M，这个结论成立，而且指数会移到对数前面。原因是：如果 M 等于 b 的 p 次方，那么 M 的 k 次方就是 b 的 kp 次方。你也可以把它看作乘积法则的重复应用：$\log_{b}\left(M^{3}\right)$ 是 M 乘以 M 再乘以 M 的对数，也就是三个 log(M) 相加。

使用字母时，要留意符号。对于 x > 0，$\log_{3}\left(x^{4}\right)$ 会变成 $4\log_{3}\left(x\right)$。当 x = -1 时，左边是 $\log_{3}\left(1\right)$，结果是 0；但 $\log_{3}\left(-1\right)$ 没有定义，所以这个法则要求 x 为正数。这个法则适用于所有底数，包括底数为 10 的情况。