无限求和

把一个蛋糕切成两半，再把剩下的部分切成两半，然后继续切下去。这些部分分别是整个蛋糕的 1/2、1/4、1/8，……，它们加起来永远不会超过整个蛋糕。无限延续的和也可能有一个有限的答案。

看这个求和公式 $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$。当 r 介于 -1 和 1 之间时，随着 n 增大，${r}^{n}$ 会逐渐趋近于 0：${\frac{1}{2}}^{10}$ 已经小于千分之一了。因此，对于一个永不结束的求和，${r}^{n}$ 会消失，于是

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

对于 $10+5+\frac{5}{2}+...$，公比是 1/2，所以 $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$，结果是 20。如果 r 大于或等于 1，或者小于或等于 -1，各项就不会不断变小，和也就没有有限值。