等比数列求和

用一个技巧计算 $1+4+16+64$ 的和。把这个和记作 S，然后将每一项都乘以公比 4：$4S = 4+16+64+256$。这两个列表都包含 4、16 和 64，因此用 4S 减去 S 后，这些项就抵消了：$4S-S = 256-1$。也就是 $3S = 255$，所以 S 是 85。

同样的减法适用于任意等比数列，并能得出前 n 项的和：

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

这里，n 表示项数，所以指数是 ${r}^{n}$，而不是 ${r}^{n-1}$。验证一下：$\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ 等于 -255 除以 -3，也就是 85。只有当 r 等于 1 时，这个公式才会失效，因为此时分母为 0；这时每一项都相同，总和就是项数 n 乘以第一项。