分数的对数

负指数会得到一个分数：${2}^{-4} = \frac{1}{{2}^{4}}$，也就是 $\frac{1}{16}$。反过来看，这意味着 $\log_{2}\left(\frac{1}{16}\right) = -4$。当输入是底数的某个次方的倒数时，对数就是该指数的相反数。

下面说明为什么答案一定是负数。以 2 为底时，正指数会得到大于 1 的数，指数为 0 时恰好得到 1。要得到小于 1 的数，指数就必须小于 0。因此，对于任何大于 1 的底数，介于 0 和 1 之间的输入对应的对数都是负数。

小数也遵循同样的规律：$0.001$ 等于 $\frac{1}{1000}$，也就是 ${10}^{-3}$，所以 $\log\left(0.001\right) = -3$。要区分这两点：对数的输入必须为正数，但答案可以是负数。