圆与直线

同样的方法也适用于非抛物线的曲线。看这个方程 ${x}^{2}+{y}^{2} = 25$。根据勾股定理，当且仅当这个方程成立时，点 (x, y) 到原点的距离为 5，因此它的图像是一个半径为 5、圆心为 (0, 0) 的圆。右边的数字是半径的平方。

要找它与直线 $y = x+1$ 的交点，把直线方程代入圆的方程：${x}^{2}+{\left(x+1\right)}^{2} = 25$。展开括号，得到 ${x}^{2}+{x}^{2}+2x+1 = 25$，然后合并同类项并移项，把 25 移到左边：$2{x}^{2}+2x-24 = 0$。两边除以 2 并因式分解：$\left(x+4\right)\left(x-3\right) = 0$，所以 x 等于 -4 或 3。

从直线方程中求出每个 y：x = 3 时，y = 4；x = -4 时，y = -3。交点是 (3, 4) 和 (-4, -3)，并且两点都在圆上，因为 9 + 16 和 16 + 9 都等于 25。将结果代入圆的方程，而不是反过来：只有直线方程说明了 y 的值。