Dividir entre un cuadrático

No cambia nada cuando el divisor es cuadrático: sigues dividiendo los términos principales. Toma (x^3 + 3x^2 + 4x + 5)/(x^2 + x + 1). x^3 dividido entre x^2 es x. Multiplica: x(x^2 + x + 1) es x^3 + x^2 + x. Resta: queda 2x^2 + 3x + 5.

Segunda ronda: 2x^2 dividido entre x^2 es 2. Multiplica: 2(x^2 + x + 1) es 2x^2 + 2x + 2. Resta: queda x + 3. Todavía tiene una x, pero su grado, 1, es menor que el del divisor, 2, así que te detienes:

(x^3 + 3x^2 + 4x + 5)/(x^2 + x + 1) = x + 2 + (x + 3)/(x^2 + x + 1)

Así que, con un divisor cuadrático, el residuo puede contener una x. La regla para detenerse es la que ya conoces: el grado del residuo debe ser menor que el del divisor. Un divisor con un término faltante requiere el mismo cuidado que un polinomio con un término faltante: alinea los términos semejantes antes de restar.