División

Dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproco, la fracción invertida: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{9}}$ es $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{4}$, que es 3/2. La razón: una fracción multiplicada por su recíproco es 1, así que multiplicar por $\frac{9}{4}$ deshace la multiplicación por $\frac{4}{9}$, que es exactamente lo que hace dividir entre ella.

Las expresiones racionales siguen la misma regla. En $\frac{\frac{x+1}{x+5}}{\frac{x+1}{{x}^{2}-25}}$, conserva la primera fracción e invierte la segunda: $\frac{x+1}{x+5}\cdot \frac{{x}^{2}-25}{x+1}$. Ahora es una multiplicación. Factoriza ${x}^{2}-25$ como $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, multiplica los numeradores y los denominadores, y simplifica x + 1 y x + 5. Lo que queda es $x-5$.

Solo se invierte la segunda fracción. Aquí aumentan los valores excluidos: 5 y -5 por los denominadores, y también -1, porque en -1 la fracción entre la que divides es 0, y no se puede dividir nada entre 0.