Un término principal negativo

En $-{x}^{2}-x+12 > 0$, el término cuadrático tiene un signo menos delante. Al factorizar, ese signo menos queda fuera de los paréntesis: $-\left(x+4\right)\left(x-3\right) > 0$. El signo menos multiplica el producto por -1, así que, para que toda la expresión sea positiva, el producto $\left(x+4\right)\left(x-3\right)$ debe ser negativo.

Así que la situación se invierte. Sin el signo menos, este producto es positivo fuera de las raíces; con él, la expresión es positiva entre ellas. Los factores deben tener signos opuestos: $x+4 > 0$ y $x-3 < 0$ dan $-4 < x < 3$, y el otro caso, que x sea menor que -4 y mayor que 3 al mismo tiempo, no tiene solución.

La gráfica coincide. Un término cuadrático negativo hace que la parábola se abra hacia abajo, así que queda por encima del eje x solo entre sus raíces. También funciona multiplicar primero ambos lados por -1, siempre que inviertas el signo: $\left(x+4\right)\left(x-3\right) < 0$.