Signos de una fracción

Una fracción es negativa exactamente cuando el numerador y el denominador tienen signos opuestos: un número positivo dividido por uno negativo, o uno negativo dividido por uno positivo. Considera $\frac{x-2}{x+5} < 0$. No puedes multiplicar ambos lados por $x+5$ como lo harías por un número, porque su signo es desconocido y multiplicar por un número negativo invierte la desigualdad.

Así que, en su lugar, divide en casos según el signo. O bien $x-2 > 0$ y $x+5 < 0$, o bien $x-2 < 0$ y $x+5 > 0$. El primer caso exige que x sea mayor que 2 y menor que -5 a la vez. Ningún número cumple ambas condiciones, así que ese caso queda vacío. El segundo exige que x sea menor que 2 y mayor que -5, es decir, $-5 < x < 2$.

Prueba un número para asegurarte. x = 0 da -2 sobre 5, que es negativo, así que pertenece. x = 3 da 1 sobre 8, positivo, así que no pertenece. La respuesta está entre -5 y 2, los dos números para los que el numerador o el denominador es 0.