Resolver por agrupación

Cuando un polinomio cúbico tiene cuatro términos y ninguno de ellos comparte un factor con todos los demás, prueba a agrupar. Considera ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. Los dos primeros términos comparten ${x}^{2}$ y los dos últimos comparten -9, así que el lado izquierdo es ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. Ahora x - 3 es un factor común: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. El paréntesis ${x}^{2}-9$ es una diferencia de cuadrados, así que la ecuación completa es $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

Al separar en casos, se obtiene 3, después -3 y después 3 de nuevo. El factor x - 3 aparece dos veces, así que 3 es una raíz repetida. En la respuesta cuenta una sola vez: las soluciones son 3 y -3. Una respuesta es un conjunto de números, y un conjunto contiene cada número una sola vez, sin importar cuántos factores apunten a él. En una gráfica, una raíz repetida un número par de veces, como 3 en este caso, es donde la curva toca el eje x y vuelve. Una raíz repetida un número impar de veces lo cruza: ${\left(x-1\right)}^{3}$ lo cruza en 1.