Potencias cuartas

${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ parece una ecuación difícil de cuarto grado, pero solo contiene ${x}^{4}$ y ${x}^{2}$, y ${x}^{4}$ es ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. Considera ${x}^{2}$ como una sola incógnita y obtendrás una ecuación cuadrática: esa incógnita al cuadrado, menos 17 veces ella, más 16. Dos números cuyo producto es 16 y cuya suma es -17 son -1 y -16, así que se factoriza como $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

Cada paréntesis es una diferencia de cuadrados, así que el lado izquierdo se descompone en cuatro factores: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. Separa en casos y obtendrás cuatro respuestas: 1, -1, 4 y -4. Una ecuación de cuarto grado tiene como máximo cuatro soluciones, y esta tiene todas.

No todos los factores dan soluciones reales. ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ se factoriza como $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$, y ${x}^{2} = -4$ no tiene soluciones reales, ya que el cuadrado de un número real nunca es negativo. Las únicas soluciones reales son 5 y -5.