תשובה שגויה

פתרו את $\frac{x+1}{x-1} = \frac{2}{x-1}+4$. הכפילו את שני האגפים ב־$x-1$ כדי לקבל $x+1 = 2+4\left(x-1\right)$. פתחו סוגריים: $x+1 = 4x-2$, ולכן 3x שווה ל־3 ו־x שווה ל־1. כעת הציבו 1 במשוואה המקורית: $x-1$ שווה ל־0, ואי אפשר לחלק ב־0. x = 1 אינו פתרון כלל.

איך זה קרה? כאשר x = 1, הכפלה ב־$x-1$ פירושה הייתה הכפלת שני האגפים ב־0, והדבר הופך כל שני אגפים לשווים. לכן למשוואה החדשה יש פתרון שלא היה למשוואה המקורית מעולם. תשובה כזו נקראת פתרון זר: תשובה שגויה שהדרך הובילה אליה, והמשוואה המקורית דוחה.

מכיוון ש־x = 1 נפסל ולא נותר דבר נוסף, למשוואה הזאת אין פתרון. זו תשובה נכונה וסופית, לא כישלון.