פירוק לגורמים באמצעות קיבוץ

ארבעה איברים שאין גורם משותף לכולם עדיין יכולים להיות ניתנים לפירוק לגורמים. ניקח את ${x}^{3}+2{x}^{2}+5x+10$. נחלק אותו לשני זוגות ונפרק כל זוג בנפרד: ${x}^{3}+2{x}^{2}$ הוא ${x}^{2}\left(x+2\right)$, ו-$5x+10$ הוא $5\left(x+2\right)$.

בשני הזוגות נשאר אותו סוגר. כעת $x+2$ הוא גורם משותף לשני החלקים, בדיוק כמו ש-y הוא גורם משותף ב-3y + 5y, ולכן נוציא אותו:

$${x}^{2}\left(x+2\right)+5\left(x+2\right) = \left(x+2\right)\left({x}^{2}+5\right)$$

הוצאת גורם משותף באמצעות קיבוץ עובדת רק כאשר שני הסוגריים זהים; כאן הם זהים, כי 1 ו-2 נמצאים באותו יחס כמו 5 ו-10. ולביטוי ${x}^{2}+5$ אין גורמים ממשיים: עבור x ממשי, הוא לעולם אינו שווה לאפס.