בין השורשים

כדי לפתור את x^2 - 4x - 5 < 0, פרקו תחילה לגורמים: (x - 5)(x + 1) < 0. כעת השאלה היא על סימנים. מכפלה של שני מספרים שלילית בדיוק כאשר אחד הגורמים חיובי והאחר שלילי, ולכן יש שני מקרים של סימנים.

מקרה ראשון: x - 5 > 0 וגם x + 1 < 0, ולכן x גדול מ־5 וקטן מ־-1 בו־זמנית. אין מספר שמקיים את שניהם, ולכן המקרה הזה ריק. מקרה שני: x - 5 < 0 וגם x + 1 > 0, ולכן x קטן מ־5 וגדול מ־-1. התנאי מתקיים לכל מספר בין השורשים, ונכתב כשרשרת אחת: -1 < x < 5.

התשובה היא קטע שלם על ציר המספרים, ולא רשימה של מספרים. בדוק נקודה אחת בתוכו: כאשר x = 0 הגורמים הם -5 ו־1, והמכפלה שלהם שלילית, כפי שהתבקש. השורשים עצמם אינם נכללים, כי שם המכפלה היא 0, ולא קטנה מ־0.