בין השורשים

כדי לפתור את ${x}^{2}-4x-5 < 0$, פרקו תחילה לגורמים: $\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$. כעת השאלה היא על סימנים. מכפלה של שני מספרים שלילית בדיוק כאשר אחד הגורמים חיובי והאחר שלילי, ולכן יש שני מקרים של סימנים.

מקרה ראשון: $x-5 > 0$ וגם $x+1 < 0$, ולכן x גדול מ־5 וקטן מ־-1 בו־זמנית. אין מספר שמקיים את שניהם, ולכן המקרה הזה ריק. מקרה שני: $x-5 < 0$ וגם $x+1 > 0$, ולכן x קטן מ־5 וגדול מ־-1. התנאי מתקיים לכל מספר בין השורשים, ונכתב כשרשרת אחת: $-1 < x < 5$.

התשובה היא קטע שלם על ציר המספרים, ולא רשימה של מספרים. בדוק נקודה אחת בתוכו: כאשר x = 0 הגורמים הם -5 ו־1, והמכפלה שלהם שלילית, כפי שהתבקש. השורשים עצמם אינם נכללים, כי שם המכפלה היא 0, ולא קטנה מ־0.