פתרון באמצעות קיבוץ

כאשר לפולינום ממעלה שלישית יש ארבעה איברים ואין גורם משותף לכולם, נסו קיבוץ. ניקח את x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. לשני האיברים הראשונים יש גורם משותף x^2 ולשני האחרונים יש גורם משותף -9, ולכן אגף שמאל הוא x^2(x - 3) - 9(x - 3). כעת x - 3 הוא גורם משותף: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. הביטוי שבסוגריים x^2 - 9 הוא הפרש ריבועים, ולכן המשוואה כולה היא (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

פירוק למקרים נותן 3, ואז -3, ואז שוב 3. הגורם x - 3 מופיע פעמיים, ולכן 3 הוא שורש כפול. בתשובה הוא נספר פעם אחת: הפתרונות הם 3 ו־-3. תשובה היא קבוצת מספרים, וקבוצה מכילה כל מספר פעם אחת, בלי קשר למספר הגורמים שמצביעים עליו. בגרף, שורש שמופיע מספר זוגי של פעמים, כמו 3 כאן, הוא המקום שבו העקומה נוגעת בציר ה־x וחוזרת לאחור. שורש שמופיע מספר אי־זוגי של פעמים חוצה את הציר: (x - 1)^3 חוצה אותו ב־1.