פתרון באמצעות קיבוץ

כאשר לפולינום ממעלה שלישית יש ארבעה איברים ואין גורם משותף לכולם, נסו קיבוץ. ניקח את ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. לשני האיברים הראשונים יש גורם משותף ${x}^{2}$ ולשני האחרונים יש גורם משותף -9, ולכן אגף שמאל הוא ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. כעת x - 3 הוא גורם משותף: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. הביטוי שבסוגריים ${x}^{2}-9$ הוא הפרש ריבועים, ולכן המשוואה כולה היא $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

פירוק למקרים נותן 3, ואז -3, ואז שוב 3. הגורם x - 3 מופיע פעמיים, ולכן 3 הוא שורש כפול. בתשובה הוא נספר פעם אחת: הפתרונות הם 3 ו־-3. תשובה היא קבוצת מספרים, וקבוצה מכילה כל מספר פעם אחת, בלי קשר למספר הגורמים שמצביעים עליו. בגרף, שורש שמופיע מספר זוגי של פעמים, כמו 3 כאן, הוא המקום שבו העקומה נוגעת בציר ה־x וחוזרת לאחור. שורש שמופיע מספר אי־זוגי של פעמים חוצה את הציר: ${\left(x-1\right)}^{3}$ חוצה אותו ב־1.