צמצום גורמים

ביטוי רציונלי הוא שבר שהמונה והמכנה שלו הם פולינומים, כמו $\frac{{x}^{2}-25}{{x}^{2}+3x-10}$. מצמצמים אותו כמו שמצמצמים את $\frac{6}{9}$: מוצאים גורם משותף למונה ולמכנה, ומצמצמים אותו. קודם מפרקים את שניהם לגורמים. המונה הוא הפרש ריבועים, $\left(x+5\right)\left(x-5\right)$, ובמכנה צריך למצוא שני מספרים שמכפלתם היא ‎-10 וסכומם הוא 3, ולכן הוא $\left(x+5\right)\left(x-2\right)$.

$$\frac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}$$

x + 5 מופיע בשניהם, ו־$\frac{x+5}{x+5}$ שווה ל־1 בכל מקום שבו x + 5 אינו 0, ולכן הוא מצטמצם ונשאר $\frac{x-5}{x-2}$. רק גורמים מצטמצמים, לעולם לא איברים. ב־$\frac{x+6}{x+3}$ מפתה למחוק את ה־x-ים ולקבל $\frac{6}{3}$, ששווה ל־2. אבל כאשר x = 3, השבר הוא $\frac{9}{6}$, ששווה ל־3/2. ה־x שם מתווסף, ולא מוכפל, ולכן הוא אינו גורם של כל המונה או של כל המכנה.

לכן פירוק לגורמים בא קודם: הוא מראה מה מכפיל את הכול. אם אין גורם משותף, השבר כבר פשוט ככל האפשר.