צמצום גורמים

ביטוי רציונלי הוא שבר שהמונה והמכנה שלו הם פולינומים, כמו (x^2 - 25)/(x^2 + 3x - 10). מצמצמים אותו כמו שמצמצמים את 6/9: מוצאים גורם משותף למונה ולמכנה, ומצמצמים אותו. קודם מפרקים את שניהם לגורמים. המונה הוא הפרש ריבועים, (x + 5)(x - 5), ובמכנה צריך למצוא שני מספרים שמכפלתם היא ‎-10 וסכומם הוא 3, ולכן הוא (x + 5)(x - 2).

((x + 5)(x - 5))/((x + 5)(x - 2))

x + 5 מופיע בשניהם, ו־(x + 5)/(x + 5) שווה ל־1 בכל מקום שבו x + 5 אינו 0, ולכן הוא מצטמצם ונשאר (x - 5)/(x - 2). רק גורמים מצטמצמים, לעולם לא איברים. ב־(x + 6)/(x + 3) מפתה למחוק את ה־x-ים ולקבל 6/3, ששווה ל־2. אבל כאשר x = 3, השבר הוא 9/6, ששווה ל־3/2. ה־x שם מתווסף, ולא מוכפל, ולכן הוא אינו גורם של כל המונה או של כל המכנה.

לכן פירוק לגורמים בא קודם: הוא מראה מה מכפיל את הכול. אם אין גורם משותף, השבר כבר פשוט ככל האפשר.