1 + tan²x = sec²x

חלקו כל איבר של ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ ב־${\cos\left(x\right)}^{2}$. אז $\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ הוא ${\tan\left(x\right)}^{2}$, $\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ הוא 1, ו־$\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ הוא ${\sec\left(x\right)}^{2}$. כך מתקבלת זהות שנייה.

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

היא נכונה בכל מקום שבו cos x אינו 0. חסרו 1 משני האגפים: ${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$. לכן $\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ הוא $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$, שהוא tan x.