סכומים למכפלות

קראו את נוסחאות המכפלה בכיוון ההפוך, עם חצי סכום הזוויות וחצי הפרש הזוויות, וסכום הופך למכפלה:

sin(A) + sin(B) = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)

cos(A) + cos(B) = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)

עבור sin(5x) + sin(x), חצי הסכום הוא 3x וחצי ההפרש הוא 2x, ולכן הביטוי הוא 2sin(3x)cos(2x).

כך נשמעים יחד שני צלילים שגובהם כמעט זהה. הסכום שלהם הוא גל מהיר בגובה הצליל הממוצע, כפול גל איטי בתדירות השווה למחצית ההפרש בגובה הצליל. העוצמה משתנה בהתאם לגודל הגל האיטי, שמגיע לשיא פעמיים בכל מחזור שלו, ולכן הפעימה שאתם שומעים חוזרת בתדירות השווה להפרש המלא: צלילים בתדירויות של 440 Hz ו־442 Hz יוצרים שתי פעימות בשנייה.