tan(A + B) ו־tan(A - B)

חלקו את sin(A + B) ב-cos(A + B), ואז חלקו את המונה ואת המכנה ב-cos A cos B, ונוסחאות הטנגנס מתקבלות באמצעות טנגנסים בלבד:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))

tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))

כדי ש־tan A ו־tan B יהיו מוגדרים (אף אחת מהזוויות אינה 90° ועוד מספר שלם של חצאי סיבובים), המכנה אינו יכול להיות 0. במונה הסימן תואם לזווית; במכנה הוא הפוך. עבור 75° בתור 45° + 30°, כאשר tan 45° = 1 ו־tan(30°) = √(3)/3:

tan(75°) = (1 + √(3)/3)/(1 - √(3)/3) = (3 + √(3))/(3 - √(3))

כדי להיפטר משורש במכנה, כופלים את המונה והמכנה בצמוד שלו, במקרה הזה 3 + √3: המכנה נעשה 9 - 3 = 6, המונה (3 + √(3))² = 12 + 6√(3), ולכן tan(75°) = 2 + √(3).