tan(A + B) ו־tan(A - B)

חלקו את sin(A + B) ב-cos(A + B), ואז חלקו את המונה ואת המכנה ב-cos A cos B, ונוסחאות הטנגנס מתקבלות באמצעות טנגנסים בלבד:

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

כדי ש־tan A ו־tan B יהיו מוגדרים (אף אחת מהזוויות אינה 90° ועוד מספר שלם של חצאי סיבובים), המכנה אינו יכול להיות 0. במונה הסימן תואם לזווית; במכנה הוא הפוך. עבור 75° בתור 45° + 30°, כאשר tan 45° = 1 ו־$\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

כדי להיפטר משורש במכנה, כופלים את המונה והמכנה בצמוד שלו, במקרה הזה 3 + √3: המכנה נעשה 9 - 3 = 6, המונה ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$, ולכן $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$.