Produtos cruzados

Em uma proporção $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, multiplique cruzado: o termo de cima à esquerda pelo termo de baixo à direita, e o termo de baixo à esquerda pelo termo de cima à direita. Esses produtos cruzados são sempre iguais: $a\cdot d = b\cdot c$. Em $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, os produtos cruzados são 3 · 12 e 4 · 9, e ambos são 36.

Por que isso funciona? Dê às duas frações o mesmo denominador: 4 · 12 = 48. Então $\frac{3}{4}$ é 36 sobre 48, e $\frac{9}{12}$ também é 36 sobre 48. Os novos numeradores são exatamente os produtos cruzados, 3 · 12 e 9 · 4. Frações iguais com o mesmo denominador devem ter o mesmo numerador, portanto os produtos cruzados são iguais.

Isso torna os produtos cruzados um teste rápido para saber se duas razões são iguais, sem simplificar. $\frac{4}{6}$ e $\frac{10}{15}$ são iguais? 4 · 15 é 60 e 6 · 10 é 60, então sim. $\frac{3}{4}$ e $\frac{5}{7}$ são iguais? 3 · 7 é 21, mas 4 · 5 é 20, então não.