Dízimas periódicas

Divida 1 por 3. 10 dividido por 3 é 3, resto 1. Abaixe um zero: 10 dividido por 3 é 3, resto 1, novamente. O mesmo resto continua aparecendo, então o mesmo algarismo também continua, para sempre: $\frac{1}{3}$ é 0.333... Este é um decimal periódico.

Em vez de pontos, traça-se uma barra sobre os algarismos que se repetem: $0.\overline{3}$ significa que o 3 continua para sempre, e $0.\overline{09}$ significa que o par 09 se repete. Em $0.1\overline{6}$, que é $\frac{1}{6}$, apenas o 6 se repete, então a barra fica somente sobre o 6.

Quais frações são periódicas? Nosso sistema decimal conta de dez em dez, e 10 é $2\cdot 5$. Uma fração na forma irredutível termina quando seu denominador não tem fatores primos além de 2 e 5, como 4, 8, 20 ou 25. Qualquer outro fator primo, como 3, 7 ou 11, faz com que o decimal seja periódico.