1 + tan²x = sec²x

将 ${\sin\left(x\right)}^{2}+{\cos\left(x\right)}^{2} = 1$ 的每一项都除以 ${\cos\left(x\right)}^{2}$。那么，$\frac{{\sin\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ 等于 ${\tan\left(x\right)}^{2}$，$\frac{{\cos\left(x\right)}^{2}}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ 等于 1，而 $\frac{1}{{\cos\left(x\right)}^{2}}$ 等于 ${\sec\left(x\right)}^{2}$。这样就得到了第二个恒等式。

$$1+{\tan\left(x\right)}^{2} = {\sec\left(x\right)}^{2}$$

当 cos x 不为 0 时，这个恒等式成立。两边都减去 1：${\sec\left(x\right)}^{2}-1 = {\tan\left(x\right)}^{2}$。因此，$\frac{{\sec\left(x\right)}^{2}-1}{\tan\left(x\right)}$ 等于 $\frac{{\tan\left(x\right)}^{2}}{\tan\left(x\right)}$，也就是 tan x。