tan(A + B) 和 tan(A - B)

将 sin(A + B) 除以 cos(A + B)，再将分子和分母都除以 cos A cos B，就能得到只用正切表示的正切公式：

$$\tan\left(A+B\right) = \frac{\tan\left(A\right)+\tan\left(B\right)}{1-\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

$$\tan\left(A-B\right) = \frac{\tan\left(A\right)-\tan\left(B\right)}{1+\tan\left(A\right)\tan\left(B\right)}$$

tan A 和 tan B 都必须存在（两个角都不能是 90° 加上整数个半周），并且分母不能为 0。分子的符号跟随角度，分母的符号则相反。对于 75° = 45° + 30°，已知 tan 45° = 1，且 $\tan\left(30^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$：

$$\tan\left(75^{\circ}\right) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$$

要消去分母中的根式，可以用它的共轭式同时乘分子和分母，这里是 3 + √3：分母变为 9 - 3 = 6，分子为 ${\left(3+\sqrt{3}\right)}^{2} = 12+6\sqrt{3}$，因此 $\tan\left(75^{\circ}\right) = 2+\sqrt{3}$。