和差化积

反向使用积化和差公式，取角的半和与半差，就能把和变成积：

$$\sin\left(A\right)+\sin\left(B\right) = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

$$\cos\left(A\right)+\cos\left(B\right) = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$

对于 $\sin\left(5x\right)+\sin\left(x\right)$，半和是 3x，半差是 2x，因此它等于 $2\sin\left(3x\right)\cos\left(2x\right)$。

两个音高几乎相同的音一起发声时，听起来就是这样。它们的和是一个频率等于平均音高的快速波，乘以一个频率等于音高差一半的慢速波。响度随慢速波的大小变化。慢速波在每个周期中达到峰值两次，因此你听到的拍音会以完整的音高差为周期重复：440 Hz 和 442 Hz 的音每秒产生两次拍音。