بين الجذور

لحل x^2 - 4x - 5 < 0، حلّل أولًا: (x - 5)(x + 1) < 0. الآن يتعلق السؤال بالإشارات. يكون حاصل ضرب عددين سالبًا بالضبط عندما يكون أحد العاملين موجبًا والآخر سالبًا، لذا توجد حالتان للإشارات.

الحالة الأولى: x - 5 > 0 وx + 1 < 0، أي إن x أكبر من 5 وأصغر من -1 في الوقت نفسه. لا يوجد عدد يحقق الأمرين، لذا فهذه الحالة خالية. الحالة الثانية: x - 5 < 0 وx + 1 > 0، أي إن x أصغر من 5 وأكبر من -1. ينطبق ذلك على كل عدد بين الجذرين، ويُكتب كسلسلة واحدة: -1 < x < 5.

الإجابة هي مقطع كامل من خط الأعداد، وليست قائمة أعداد. تحقّق من نقطة داخله: عند x = 0 يكون العاملان -5 و1، وحاصل ضربهما سالب، كما هو مطلوب. أما الجذور نفسها فهي مستثناة، لأن حاصل الضرب عندها يساوي 0، وليس أقل من 0.