بين الجذور

لحل ${x}^{2}-4x-5 < 0$، حلّل أولًا: $\left(x-5\right)\left(x+1\right) < 0$. الآن يتعلق السؤال بالإشارات. يكون حاصل ضرب عددين سالبًا بالضبط عندما يكون أحد العاملين موجبًا والآخر سالبًا، لذا توجد حالتان للإشارات.

الحالة الأولى: $x-5 > 0$ و$x+1 < 0$، أي إن x أكبر من 5 وأصغر من -1 في الوقت نفسه. لا يوجد عدد يحقق الأمرين، لذا فهذه الحالة خالية. الحالة الثانية: $x-5 < 0$ و$x+1 > 0$، أي إن x أصغر من 5 وأكبر من -1. ينطبق ذلك على كل عدد بين الجذرين، ويُكتب كسلسلة واحدة: $-1 < x < 5$.

الإجابة هي مقطع كامل من خط الأعداد، وليست قائمة أعداد. تحقّق من نقطة داخله: عند x = 0 يكون العاملان -5 و1، وحاصل ضربهما سالب، كما هو مطلوب. أما الجذور نفسها فهي مستثناة، لأن حاصل الضرب عندها يساوي 0، وليس أقل من 0.