استخدام عامل معلوم

تُحدِّد مبرهنة العامل أحد العوامل؛ وتُحدِّد القسمة المطوّلة العوامل المتبقية. خذ p(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6. جرّب أعدادًا صغيرة: p(1) يساوي 1 - 2 - 5 + 6، وهي تساوي صفرًا، لذا فإن x - 1 عامل.

اقسم عليه: (x^3 - 2x^2 - 5x + 6)/(x - 1) يساوي x^2 - x - 6، دون أي باقٍ. ما يتبقى هو مقدار تربيعي تعرف بالفعل كيفية تحليله إلى عوامل: x^2 - x - 6 يساوي (x - 3)(x + 2). إذن

x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

ما الأعداد التي ينبغي أن تجرّبها؟ عندما يبدأ p بـ x^3 وتكون معاملاته أعدادًا صحيحة غير سالبة، فإن أي جذر صحيح يقسم الحد الثابت، لأن كل حد آخر يحتوي على عامل x. هنا الحد الثابت هو 6، لذا جرّب 1 و2 و3 و6 ونظائرها السالبة. يكفي نجاح محاولة واحدة: إذ يحوّل القسمة كثيرة الحدود التكعيبية إلى كثيرة حدود تربيعية.