نظرية العامل

باقٍ يساوي صفرًا هو الحالة الخاصة. إذا كان p(a) = 0، فإن القسمة على x - a لا تترك أي باقٍ، لذا p(x) = (x - a)q(x) ويكون x - a عاملًا. ويصح العكس أيضًا: إذا كان x - a عاملًا، فإن p(a) = 0. هذه هي مبرهنة العامل.

خذ p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. هل x - 1 عامل؟ احسب p(1): 1 - 2 - 1 + 2 يساوي صفرًا، لذا نعم. هل x - 3 عامل؟ p(3) يساوي 27 - 18 - 3 + 2، أي 8، لذا لا: القسمة على x - 3 ستترك باقيًا مقداره 8.

تعوّض عملية تقييم واحدة قسمةً مطوّلةً كاملة. كما أنها تربط العوامل بالجذور: يكون x - 1 عاملًا بالضبط عندما يكون 1 جذرًا، أي النقطة التي يلتقي عندها منحنى p بمحور x. وبالنسبة إلى x + 4، اختبر p(-4).