التجميع حتى النهاية

أحيانًا يتبقى القوس بعد تجميع العوامل مرة أخرى. خذ ${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18$. الزوج الأول هو ${x}^{2}\left(x+2\right)$. بالنسبة إلى الزوج الثاني، أخرج -9، وليس 9: $-9x-18$ يساوي $-9\left(x+2\right)$. إخراج الإشارة السالبة هو ما يجعل القوسين متطابقين.

أخرج الآن العامل المشترك: $\left(x+2\right)\left({x}^{2}-9\right)$. لكن ${x}^{2}-9$ هو فرق بين مربعين، لذا يمكن تحليله أيضًا إلى عوامل:

$${x}^{3}+2{x}^{2}-9x-18 = \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)$$

يكتمل التحليل إلى عوامل فقط عندما لا يمكن تحليل أي عامل بين قوسين أكثر. يعطي كل عامل جذرًا، لذا فإن هذه المعادلة التكعيبية تساوي صفرًا عند -2 و-3 و3.