إشارات الكسر

يكون الكسر سالبًا بالضبط عندما تكون إشارة بسطه ومقامه مختلفة: موجب على سالب، أو سالب على موجب. خذ $\frac{x-2}{x+5} < 0$. لا يمكنك ضرب الطرفين في $x+5$ كما لو كان عددًا، لأن إشارته غير معروفة، والضرب في عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة.

لذا قسّم المسألة إلى حالات بحسب الإشارة بدلًا من ذلك. إما أن يكون $x-2 > 0$ و$x+5 < 0$، أو أن يكون $x-2 < 0$ و$x+5 > 0$. تطلب الحالة الأولى أن تكون x أكبر من 2 وأصغر من -5 في الوقت نفسه. لا يوجد عدد يحقق الأمرين، لذا فهذه الحالة خالية. أما الحالة الثانية فتطلب أن تكون x أصغر من 2 وأكبر من -5، أي $-5 < x < 2$.

اختبر عددًا للتأكد. عند x = 0 تكون النتيجة -2 على 5، وهي سالبة، لذا فهي تنتمي. عند x = 3 تكون النتيجة 1 على 8، وهي موجبة، لذا فهي لا تنتمي. تقع الإجابة بين -5 و2، وهما العددان اللذان يكون عندهما البسط أو المقام مساويًا لـ0.