الضرب التبادلي

عندما يكون كل طرف كسرًا واحدًا، توجد طريقة مختصرة. في $\frac{4}{x+2} = \frac{3}{x-1}$، اضرب بسط كل كسر في مقام الكسر الموجود في الطرف الآخر، واجعل الناتجين متساويين. وهذا ما يُسمّى الضرب التبادلي:

$$4\left(x-1\right) = 3\left(x+2\right)$$

لماذا تنجح هذه الطريقة؟ إنها تعادل ضرب طرفَي المعادلة في المقامين، $\left(x+2\right)\left(x-1\right)$. في كل طرف يُختَزَل أحد المقامين ويبقى الآخر، فيصبح بجوار البسط المقابل. لا تنجح هذه الطريقة إلا عندما يكون في كل طرف كسر واحد: المعادلة $\frac{1}{x}+2 = \frac{3}{x}$ فيها حدّان في الطرف الأيسر، لذا تتخلص من المقامات بالطريقة المطوّلة.

من هنا تصبح المسألة خطية: $4x-4 = 3x+6$، لذا فإن x تساوي 10. بما أن المقامين يحتويان على x، فتحقّق من الحل: عند 10 لا يساوي أيٌّ من $x+2$ أو $x-1$ صفرًا، وكلا الطرفين يساوي 1/3.