الحل بالتجميع

عندما يحتوي كثير الحدود التكعيبي على أربعة حدود ولا يوجد عامل مشترك بينها جميعًا، جرّب التحليل بالتجميع. خذ ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$. يشترك الحدان الأولان في ${x}^{2}$، ويشترك الحدان الأخيران في -9، لذا فإن الطرف الأيسر هو ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$. والآن، x - 3 عامل مشترك: $\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$. القوس ${x}^{2}-9$ هو فرق بين مربعين، لذا تصبح المعادلة كلها $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$.

يعطي التقسيم إلى حالات 3، ثم -3، ثم 3 مرة أخرى. يظهر العامل x - 3 مرتين، لذا فإن 3 جذر مكرر. ويُحسب مرة واحدة في الإجابة: الحلّان هما 3 و-3. الإجابة مجموعة من الأعداد، والمجموعة تضم كل عدد مرة واحدة، مهما بلغ عدد العوامل التي تشير إليه. على الرسم البياني، يكون الجذر المكرر عددًا زوجيًا من المرات، مثل 3 هنا، هو الموضع الذي يلامس فيه المنحنى محور x ثم ينعطف عائدًا. أما الجذر المكرر عددًا فرديًا من المرات فيعبر المحور: ${\left(x-1\right)}^{3}$ يعبر عند 1.