الحل بالتجميع

عندما يحتوي كثير الحدود التكعيبي على أربعة حدود ولا يوجد عامل مشترك بينها جميعًا، جرّب التحليل بالتجميع. خذ x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0. يشترك الحدان الأولان في x^2، ويشترك الحدان الأخيران في -9، لذا فإن الطرف الأيسر هو x^2(x - 3) - 9(x - 3). والآن، x - 3 عامل مشترك: (x - 3)(x^2 - 9) = 0. القوس x^2 - 9 هو فرق بين مربعين، لذا تصبح المعادلة كلها (x - 3)(x + 3)(x - 3) = 0.

يعطي التقسيم إلى حالات 3، ثم -3، ثم 3 مرة أخرى. يظهر العامل x - 3 مرتين، لذا فإن 3 جذر مكرر. ويُحسب مرة واحدة في الإجابة: الحلّان هما 3 و-3. الإجابة مجموعة من الأعداد، والمجموعة تضم كل عدد مرة واحدة، مهما بلغ عدد العوامل التي تشير إليه. على الرسم البياني، يكون الجذر المكرر عددًا زوجيًا من المرات، مثل 3 هنا، هو الموضع الذي يلامس فيه المنحنى محور x ثم ينعطف عائدًا. أما الجذر المكرر عددًا فرديًا من المرات فيعبر المحور: (x - 1)^3 يعبر عند 1.