القوى الرابعة

تبدو ${x}^{4}-17{x}^{2}+16 = 0$ كأنها معادلة صعبة من الدرجة الرابعة، لكنها لا تحتوي إلا على ${x}^{4}$ و${x}^{2}$، و${x}^{4}$ هي ${\left({x}^{2}\right)}^{2}$. اعتبر ${x}^{2}$ مجهولًا واحدًا، وستجد أنها معادلة تربيعية: ذلك المجهول تربيعًا، ناقص 17 منه، زائد 16. العددان اللذان حاصل ضربهما 16 ومجموعهما -17 هما -1 و-16، لذا تتحلل إلى $\left({x}^{2}-1\right)\left({x}^{2}-16\right) = 0$.

كل قوس هو فرق بين مربعين، لذا يتحلل الطرف الأيسر إلى أربعة عوامل: $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x-4\right)$. قسّمها إلى حالات، وستحصل على أربعة أجوبة: 1 و-1 و4 و-4. للمعادلة من الدرجة الرابعة أربعة حلول على الأكثر، وهذه المعادلة لها جميعها.

ليس كل عامل يعطي حلولًا حقيقية. تتحلل ${x}^{4}-21{x}^{2}-100 = 0$ إلى $\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}+4\right) = 0$، ولا توجد حلول حقيقية للمعادلة ${x}^{2} = -4$، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا أبدًا. الحلّان الحقيقيان الوحيدان هما 5 و-5.