القوى الرابعة

تبدو x^4 - 17x^2 + 16 = 0 كأنها معادلة صعبة من الدرجة الرابعة، لكنها لا تحتوي إلا على x^4 وx^2، وx^4 هي (x^2)^2. اعتبر x^2 مجهولًا واحدًا، وستجد أنها معادلة تربيعية: ذلك المجهول تربيعًا، ناقص 17 منه، زائد 16. العددان اللذان حاصل ضربهما 16 ومجموعهما -17 هما -1 و-16، لذا تتحلل إلى (x^2 - 1)(x^2 - 16) = 0.

كل قوس هو فرق بين مربعين، لذا يتحلل الطرف الأيسر إلى أربعة عوامل: (x + 1)(x - 1)(x + 4)(x - 4). قسّمها إلى حالات، وستحصل على أربعة أجوبة: 1 و-1 و4 و-4. للمعادلة من الدرجة الرابعة أربعة حلول على الأكثر، وهذه المعادلة لها جميعها.

ليس كل عامل يعطي حلولًا حقيقية. تتحلل x^4 - 21x^2 - 100 = 0 إلى (x^2 - 25)(x^2 + 4) = 0، ولا توجد حلول حقيقية للمعادلة x^2 = -4، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا أبدًا. الحلّان الحقيقيان الوحيدان هما 5 و-5.