فرق المكعبين

${x}^{3}-64$ لا توجد أزواج لتجميعها، لكن فيه نمط: ${x}^{3}$ هو x تكعيب، و64 هو 4 تكعيب. يتحلل أي فرق بين مكعبين بالطريقة نفسها:

$${a}^{3}-{b}^{3} = \left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)$$

بالتعويض عن a بـ x وعن b بـ 4، نحصل على ${x}^{3}-64 = \left(x-4\right)\left({x}^{2}+4x+16\right)$. وسّع التعبير لتعرف سبب صحة ذلك: حاصل ضرب x في القوس الطويل هو ${x}^{3}+4{x}^{2}+16x$، وحاصل ضرب -4 فيه هو $-4{x}^{2}-16x-64$. تتلاشى الحدود الوسطى، ويتبقى ${x}^{3}-64$.

ليس للعامل التربيعي ${x}^{2}+4x+16$ عوامل حقيقية: فمميّزه، 16 - 64، سالب، لذا جذراه مركبان. وهذا يجعل 4 الجذر الحقيقي الوحيد لـ ${x}^{3}-64$. تعلّم مكعبات الأعداد 1 و8 و27 و64 و125 لتتمكن من ملاحظة النمط.