فرق المكعبين

x^3 - 64 لا توجد أزواج لتجميعها، لكن فيه نمط: x^3 هو x تكعيب، و64 هو 4 تكعيب. يتحلل أي فرق بين مكعبين بالطريقة نفسها:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

بالتعويض عن a بـ x وعن b بـ 4، نحصل على x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16). وسّع التعبير لتعرف سبب صحة ذلك: حاصل ضرب x في القوس الطويل هو x^3 + 4x^2 + 16x، وحاصل ضرب -4 فيه هو -4x^2 - 16x - 64. تتلاشى الحدود الوسطى، ويتبقى x^3 - 64.

ليس للعامل التربيعي x^2 + 4x + 16 عوامل حقيقية: فمميّزه، 16 - 64، سالب، لذا جذراه مركبان. وهذا يجعل 4 الجذر الحقيقي الوحيد لـ x^3 - 64. تعلّم مكعبات الأعداد 1 و8 و27 و64 و125 لتتمكن من ملاحظة النمط.