Una soluzione falsa

Elevare al quadrato fa sembrare uguali due numeri diversi: -3 e 3 non sono uguali, ma i loro quadrati sono entrambi 9. Quindi elevare al quadrato può trasformare un’equazione falsa in una vera, e l’equazione ottenuta elevando al quadrato può avere soluzioni che l’originale non ha.

Considera $\sqrt{x+6} = x$. Elevando al quadrato si ottiene $x+6 = {x}^{2}$, quindi ${x}^{2}-x-6 = 0$, che si fattorizza come $\left(x-3\right)\left(x+2\right) = 0$. I candidati sono 3 e -2. Verifica ciascuno nell’equazione originale. Per 3: $\sqrt{9}$ è 3, e il lato destro è 3. Vero. Per -2: $\sqrt{4}$ è 2, ma il lato destro è -2. Falso. Quindi -2 viene scartato e l’unica soluzione è 3.

Una soluzione candidata prodotta dal procedimento ma rifiutata dall’equazione originale è una soluzione estranea (nei libri di testo si usa il termine «soluzione estranea»). Non è un errore algebrico: è stata introdotta elevando al quadrato. Ecco perché ogni soluzione candidata viene verificata nell’equazione originale, mai in quella elevata al quadrato, dove entrambe risultano valide.