Una soluzione falsa

Fa parte della sezione Radicali ed esponenti razionali del percorso Algebra 2 di Coddy. Lezione 27 di 43.

Elevare al quadrato fa sembrare uguali due numeri diversi: -3 e 3 non sono uguali, ma i loro quadrati sono entrambi 9. Quindi elevare al quadrato può trasformare un’equazione falsa in una vera, e l’equazione ottenuta elevando al quadrato può avere soluzioni che l’originale non ha.

Considera √(x + 6) = x. Elevando al quadrato si ottiene x + 6 = x^2, quindi x^2 - x - 6 = 0, che si fattorizza come (x - 3)(x + 2) = 0. I candidati sono 3 e -2. Verifica ciascuno nell’equazione originale. Per 3: √(9) è 3, e il lato destro è 3. Vero. Per -2: √(4) è 2, ma il lato destro è -2. Falso. Quindi -2 viene scartato e l’unica soluzione è 3.

Una soluzione candidata prodotta dal procedimento ma rifiutata dall’equazione originale è una soluzione estranea (nei libri di testo si usa il termine «soluzione estranea»). Non è un errore algebrico: è stata introdotta elevando al quadrato. Ecco perché ogni soluzione candidata viene verificata nell’equazione originale, mai in quella elevata al quadrato, dove entrambe risultano valide.

Sfida

Risolvi √(x + 7) = x - 5. Elevando al quadrato si ottengono due soluzioni candidate: verifica entrambe nell’equazione originale e conserva solo quella che funziona.

Provalo tu

sqrt(x + 7) = x - 5

Risolvi rispetto a x