Inversa di un quadrato

Fa parte della sezione Radicali ed esponenti razionali del percorso Algebra 2 di Coddy. Lezione 34 di 40.

La regola $f\left(x\right) = {x}^{2}$ così com’è non ha una funzione inversa. Sia 2 che -2 danno 4, quindi l’inversa associata a 4 dovrebbe avere due risposte. La soluzione è restringere f agli input $x \ge 0$ . Così ogni output deriva da un solo input.

Considera $f\left(x\right) = {x}^{2}-3$ per $x \ge 0$ . Scambia x e y come al solito: $x = {y}^{2}-3$ . Risolvi rispetto a y: spostando il -3 dall’altra parte si ottiene $x+3 = {y}^{2}$ , e calcolando la radice quadrata di entrambi i membri si ottengono due risposte, $y = \sqrt{x+3}$ e $y = -\sqrt{x+3}$ .

La restrizione ne seleziona una. Gli output dell'inversa sono gli input di f, e sono almeno 0. La radice negativa dà output negativi, quindi si ha: ${f}^{-1}\left(x\right) = \sqrt{x+3}$ . Verifica: f(2) è 1 e l'inversa manda 1 a $\sqrt{4}$ , che è 2. Su un dominio ristretto, l'inversa di un quadrato è una radice quadrata.

Sfida

Trova l'inversa di $f\left(x\right) = {x}^{2}+1$ per $x \ge 0$ . La lavagna contiene l'equazione con i membri scambiati $x = {y}^{2}+1$ . Scrivi tu i passaggi: prima lascia da solo il quadrato, poi y. Poiché f accetta solo valori di input $x \ge 0$ , la sua inversa restituisce solo valori di output maggiori o uguali a 0, quindi mantieni solo la radice positiva.