Potenza due terzi

In ${x}^{\frac{2}{3}}$ la parte superiore dell’esponente è pari: ${x}^{\frac{2}{3}}$ è ${\left(cbrt\left(x\right)\right)}^{2}$, la radice cubica di x, elevata al quadrato. Un quadrato nasconde il segno, quindi due numeri possono avere la stessa potenza. Considera ${x}^{\frac{2}{3}} = 9$. La radice cubica di 27 è 3 e 3 al quadrato è 9, quindi 27 è una soluzione. La radice cubica di -27 è -3 e anche ${\left(-3\right)}^{2}$ è 9, quindi anche -27 è una soluzione.

Per risolverla, eleva entrambi i membri alla potenza 3/2. Il membro destro diventa 27, il numero positivo la cui potenza 2/3 è 9, come sopra. Il membro sinistro non diventa x: la potenza 2/3 ha eliminato il segno di x e la potenza 3/2 calcola una radice quadrata, che non può ripristinare il segno. Quindi il membro sinistro diventa $\left|x\right|$:

$${\left({x}^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{3}{2}} = \left|x\right|$$

$\left|x\right| = 27$ significa x = 27 oppure x = -27, proprio come ${x}^{2} = 9$ dà 3 e -3.

Due rapide verifiche derivano dalla stessa figura. Il denominatore, 3, è dispari, quindi la radice cubica accetta qualsiasi numero e non bisogna scartare nessuna delle due risposte. Il numeratore, 2, è pari, quindi la potenza non è mai negativa: ${x}^{\frac{2}{3}} = -9$ non ha soluzioni reali.