Potenza due terzi

In x^(2/3) la parte superiore dell’esponente è pari: x^(2/3) è (cbrt(x))^2, la radice cubica di x, elevata al quadrato. Un quadrato nasconde il segno, quindi due numeri possono avere la stessa potenza. Considera x^(2/3) = 9. La radice cubica di 27 è 3 e 3 al quadrato è 9, quindi 27 è una soluzione. La radice cubica di -27 è -3 e anche (-3)^2 è 9, quindi anche -27 è una soluzione.

Per risolverla, eleva entrambi i membri alla potenza 3/2. Il membro destro diventa 27, il numero positivo la cui potenza 2/3 è 9, come sopra. Il membro sinistro non diventa x: la potenza 2/3 ha eliminato il segno di x e la potenza 3/2 calcola una radice quadrata, che non può ripristinare il segno. Quindi il membro sinistro diventa |x|:

(x^(2/3))^(3/2) = |x|

|x| = 27 significa x = 27 oppure x = -27, proprio come x^2 = 9 dà 3 e -3.

Due rapide verifiche derivano dalla stessa figura. Il denominatore, 3, è dispari, quindi la radice cubica accetta qualsiasi numero e non bisogna scartare nessuna delle due risposte. Il numeratore, 2, è pari, quindi la potenza non è mai negativa: x^(2/3) = -9 non ha soluzioni reali.