Ложный корень

Решите $\ln\left(x\right)+\ln\left(x+4\right) = \ln\left(5\right)$. Объедините логарифмы в левой части в $\ln\left(x\left(x+4\right)\right)$, приравняйте выражения под логарифмами и получите ${x}^{2}+4x-5 = 0$, что раскладывается на множители: $\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0$. Кандидаты — 1 и -5.

Подставьте -5 в объединённое уравнение — всё выглядит верно: $x\left(x+4\right)$ равно произведению -5 на -1, то есть 5. Подставьте это значение в исходное уравнение — и сразу получите неверное равенство, поскольку $\ln\left(-5\right)$ не определён. Значит, -5 — это посторонний корень, а подходит только x = 1.

Откуда оно взялось? В исходном выражении каждый аргумент должен быть положительным: x и $x+4$ оба должны быть больше 0. Для объединённого логарифма достаточно, чтобы их произведение было положительным, а произведение двух отрицательных чисел тоже положительно. Объединение логарифмов ослабило условие, поэтому квадратное уравнение допустило ответ, который исходное выражение никогда не допускало. Именно поэтому проверка всегда возвращается к исходному уравнению, а не к строке, которую ты составил.