Ложный корень

Решите ln(x) + ln(x + 4) = ln(5). Объедините логарифмы в левой части в ln(x(x + 4)), приравняйте выражения под логарифмами и получите x^2 + 4x - 5 = 0, что раскладывается на множители: (x + 5)(x - 1) = 0. Кандидаты — 1 и -5.

Подставьте -5 в объединённое уравнение — всё выглядит верно: x(x + 4) равно произведению -5 на -1, то есть 5. Подставьте это значение в исходное уравнение — и сразу получите неверное равенство, поскольку ln(-5) не определён. Значит, -5 — это посторонний корень, а подходит только x = 1.

Откуда оно взялось? В исходном выражении каждый аргумент должен быть положительным: x и x + 4 оба должны быть больше 0. Для объединённого логарифма достаточно, чтобы их произведение было положительным, а произведение двух отрицательных чисел тоже положительно. Объединение логарифмов ослабило условие, поэтому квадратное уравнение допустило ответ, который исходное выражение никогда не допускало. Именно поэтому проверка всегда возвращается к исходному уравнению, а не к строке, которую ты составил.