Бесконечные суммы

Разрежьте торт пополам, затем разрежьте оставшуюся часть пополам и продолжайте. Кусочки составляют 1/2, 1/4, 1/8, ... торта, и в сумме они никогда не могут превысить целый торт. Бесконечная сумма может иметь конечное значение.

Посмотрите на формулу суммы $S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$. Когда r находится между -1 и 1, ${r}^{n}$ стремится к 0 по мере роста n: ${\frac{1}{2}}^{10}$ уже меньше одной тысячной. Поэтому в бесконечной сумме ${r}^{n}$ исчезает, и

$$S = \frac{a\left(1\right)}{1-r}$$

Для $10+5+\frac{5}{2}+...$ отношение равно 1/2, поэтому $S = \frac{10}{1-\frac{1}{2}}$, что равно 20. Если r равно 1 или больше либо -1 или меньше, слагаемые не убывают, и сумма не имеет конечного значения.