Бесконечные суммы

Разрежьте торт пополам, затем разрежьте оставшуюся часть пополам и продолжайте. Кусочки составляют 1/2, 1/4, 1/8, ... торта, и в сумме они никогда не могут превысить целый торт. Бесконечная сумма может иметь конечное значение.

Посмотрите на формулу суммы S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r). Когда r находится между -1 и 1, r^n стремится к 0 по мере роста n: (1/2)^10 уже меньше одной тысячной. Поэтому в бесконечной сумме r^n исчезает, и

S = a(1)/(1 - r)

Для 10 + 5 + 5/2 + ... отношение равно 1/2, поэтому S = 10/(1 - 1/2), что равно 20. Если r равно 1 или больше либо -1 или меньше, слагаемые не убывают, и сумма не имеет конечного значения.