Сложение членов

Сложите 10 членов последовательности: 2, 5, 8, ..., 29. Составьте пары из первого и последнего: 2 плюс 29 равно 31. Составьте пару из второго и предпоследнего: 5 плюс 26 тоже равно 31. Сумма каждой пары равна 31, потому что одно число увеличивается на 3 ровно настолько, насколько его партнёр уменьшается на 3. Из десяти членов получаются 5 пар, поэтому сумма равна $5\cdot 31$, то есть 155.

Для любой арифметической последовательности из n членов это $\frac{n}{2}$ пар, сумма каждой из которых равна сумме первого и последнего членов. При нечётном n средний член составляет половину пары, и подсчёт всё равно работает:

$$S = \frac{n}{2}\cdot \left(a\left(1\right)+a\left(n\right)\right)$$

Рассказывают, что юный Карл Фридрих Гаусс таким способом за несколько мгновений сложил числа от 1 до 100.