Правило произведения

Рассмотрим $\log_{3}\left(9\cdot 27\right)$. Поскольку $9 = {3}^{2}$ и $27 = {3}^{3}$, произведение равно ${3}^{2}\cdot {3}^{3}$, что равно ${3}^{5}$: показатели степеней складываются при умножении степеней. Значит, логарифм равен 5, то есть 2 плюс 3 — логарифм 9 плюс логарифм 27. Это правило произведения:

$$\log_{b}\left(MN\right) = \log_{b}\left(M\right)+\log_{b}\left(N\right)$$

Это справедливо для любых положительных M и N по той же причине. Логарифмы — это показатели степени: если M равно b в степени p, а N равно b в степени q, то MN равно b в степени $p+q$. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Это правило особенно полезно, когда один из множителей — буква. Для положительного x $\log_{3}\left(9x\right)$ превращается в $\log_{3}\left(9\right)+\log_{3}\left(x\right)$, а $\log_{3}\left(9\right)$ равно 2, поэтому получаем $2+\log_{3}\left(x\right)$.