Правило произведения

Рассмотрим log_3(9 × 27). Поскольку 9 = 3^2 и 27 = 3^3, произведение равно 3^2 × 3^3, что равно 3^5: показатели степеней складываются при умножении степеней. Значит, логарифм равен 5, то есть 2 плюс 3 — логарифм 9 плюс логарифм 27. Это правило произведения:

log_b(MN) = log_b(M) + log_b(N)

Это справедливо для любых положительных M и N по той же причине. Логарифмы — это показатели степени: если M равно b в степени p, а N равно b в степени q, то MN равно b в степени p + q. Значит, логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Это правило особенно полезно, когда один из множителей — буква. Для положительного x log_3(9x) превращается в log_3(9) + log_3(x), а log_3(9) равно 2, поэтому получаем 2 + log_3(x).