Что такое логарифм

Ты знаешь, что ${2}^{3} = 8$. Логарифм задаёт этот факт в обратном порядке: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Ответ — 3, и мы записываем это так: $\log_{2}\left(8\right) = 3$, что читается как «логарифм 8 по основанию 2 равен 3». Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень?

В общем случае $\log_{b}(y) = x$ означает ровно то же, что и ${b}^{x} = y$. Маленькое число b — это основание, число, которое возводят в степень. Оно всегда положительное и никогда не равно 1. У двух оснований есть собственные названия. Если основание логарифма не указано, это логарифм по основанию 10, поэтому $\log\left(1000\right) = 3$. А $\ln\left(x\right)$ — это логарифм по основанию $e$, числа, близкого к 2.718, с которым ты познакомишься позже в этом разделе.

Для любого основания выполняются два равенства. $\log_{b}\left(1\right) = 0$, потому что любое число в степени 0 равно 1. $\log_{b}(b) = 1$, потому что любое число в степени 1 равно самому себе. А для некоторых значений логарифма не существует: положительное основание в любой степени дает положительное число, никогда не равное 0 и не являющееся отрицательным. Поэтому $\log_{2}\left(0\right)$ и $\log_{2}\left(-4\right)$ не определены. Аргумент логарифма должен быть положительным.