Правило степени

Рассмотрим $\log_{2}\left(8^{2}\right)$. Поскольку $8 = {2}^{3}$, степень равна ${\left({2}^{3}\right)}^{2}$, то есть ${2}^{6}$: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Значит, логарифм равен 6, то есть 2, умноженному на 3 — показатель степени умножается на логарифм числа 8. Это правило степени:

$$\log_{b}\left(M^{k}\right) = k\log_{b}\left(M\right)$$

Это верно для положительного M, а показатель степени выносится перед логарифмом. Причина: если M равно b в степени p, то M в степени k равно b в степени kp. Это также можно увидеть как многократно применённое правило произведения: $\log_{b}\left(M^{3}\right)$ — это логарифм M, умноженного на M и на M, то есть три логарифма M, сложенные вместе.

Если вместо числа стоит буква, следи за знаком. При x > 0 выражение $\log_{3}\left(x^{4}\right)$ превращается в $4\log_{3}\left(x\right)$. При x = -1 левая часть равна $\log_{3}\left(1\right)$, то есть 0, но $\log_{3}\left(-1\right)$ не имеет значения, поэтому для применения правила требуется, чтобы x было положительным. Правило работает при любом основании, в том числе при основании 10.