Правило степени

Рассмотрим log_2(8^2). Поскольку 8 = 2^3, степень равна (2^3)^2, то есть 2^6: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Значит, логарифм равен 6, то есть 2, умноженному на 3 — показатель степени умножается на логарифм числа 8. Это правило степени:

log_b(M^k) = k log_b(M)

Это верно для положительного M, а показатель степени выносится перед логарифмом. Причина: если M равно b в степени p, то M в степени k равно b в степени kp. Это также можно увидеть как многократно применённое правило произведения: log_b(M^3) — это логарифм M, умноженного на M и на M, то есть три логарифма M, сложенные вместе.

Если вместо числа стоит буква, следи за знаком. При x > 0 выражение log_3(x^4) превращается в 4log_3(x). При x = -1 левая часть равна log_3(1), то есть 0, но log_3(-1) не имеет значения, поэтому для применения правила требуется, чтобы x было положительным. Правило работает при любом основании, в том числе при основании 10.