Правило частного

Возьмём $\log_{2}\left(\frac{64}{4}\right)$. Поскольку $64 = {2}^{6}$ и $4 = {2}^{2}$, частное равно ${2}^{4}$: при делении степеней показатели вычитаются. Значит, логарифм равен 4, то есть 6 минус 2, логарифм числителя минус логарифм знаменателя. Это правило частного:

$$\log_{b}\left(\frac{M}{N}\right) = \log_{b}\left(M\right)-\log_{b}\left(N\right)$$

Это верно для положительных M и N, и причина та же, что и для правила произведения. Если M равно b в степени p, а N равно b в степени q, то M, делённое на N, равно b в степени p минус q. Порядок важен: сначала идёт логарифм числителя, затем вычитается логарифм знаменателя.

Если в числителе стоит положительная переменная: $\log_{2}\left(\frac{x}{16}\right)$ превращается в $\log_{2}\left(x\right)-\log_{2}\left(16\right)$, а $\log_{2}\left(16\right)$ равно 4, поэтому получаем $\log_{2}\left(x\right)-4$. Не дели логарифмы: логарифм частного — это разность логарифмов, а не частное логарифмов.