Суммы геометрических прогрессий

Сложи 1 + 4 + 16 + 64 с помощью хитрости. Обозначим сумму через S, затем умножим каждый член на отношение 4: 4S = 4 + 16 + 64 + 256. В обоих списках есть 4, 16 и 64, поэтому при вычитании S из 4S они сокращаются: 4S - S = 256 - 1. Получаем 3S = 255, значит, S равно 85.

То же вычитание работает для любой геометрической последовательности и даёт сумму её первых n членов:

S = a(1) × (1 - r^n)/(1 - r)

Здесь n обозначает количество членов, поэтому степень равна r^n, а не r^(n - 1). Проверьте: 1 × (1 - 4^4)/(1 - 4) равно -255, делённому на -3, то есть 85. Формула не работает только при r, равном 1, когда её знаменатель равен 0; тогда все члены одинаковы, а сумма равна n, умноженному на первый член.