Суммы геометрических прогрессий

Сложи $1+4+16+64$ с помощью хитрости. Обозначим сумму через S, затем умножим каждый член на отношение 4: $4S = 4+16+64+256$. В обоих списках есть 4, 16 и 64, поэтому при вычитании S из 4S они сокращаются: $4S-S = 256-1$. Получаем $3S = 255$, значит, S равно 85.

То же вычитание работает для любой геометрической последовательности и даёт сумму её первых n членов:

$$S = \frac{a\left(1\right)\cdot \left(1-{r}^{n}\right)}{1-r}$$

Здесь n обозначает количество членов, поэтому степень равна ${r}^{n}$, а не ${r}^{n-1}$. Проверьте: $\frac{1\cdot \left(1-{4}^{4}\right)}{1-4}$ равно -255, делённому на -3, то есть 85. Формула не работает только при r, равном 1, когда её знаменатель равен 0; тогда все члены одинаковы, а сумма равна n, умноженному на первый член.