分组求解

当一个三次多项式有四项，而且没有所有项共有的因子时，可以尝试分组。来看 ${x}^{3}-3{x}^{2}-9x+27 = 0$。前两项共有因子 ${x}^{2}$，后两项共有因子 -9，因此左边可以写成 ${x}^{2}\left(x-3\right)-9\left(x-3\right)$。现在，x - 3 是公因子：$\left(x-3\right)\left({x}^{2}-9\right) = 0$。括号中的 ${x}^{2}-9$ 是平方差，因此整个方程可以写成 $\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right) = 0$。

分情况讨论，得到 3，接着是 -3，然后又是 3。因式 x - 3 出现了两次，所以 3 是重根。在答案中，它只计算一次：解是 3 和 -3。答案是一个数字集合，集合中的每个数字只出现一次，不管有多少个因式指向它。在图像上，像这里的 3 这样，重复偶数次的根所在的位置就是曲线与 x 轴接触后折返的地方。重复奇数次的根所在的位置，曲线会穿过 x 轴：${\left(x-1\right)}^{3}$ 在 1 处穿过 x 轴。